CONTINUIDAD DE UNA FUNCION COMPUESTA

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION COMPUESTA.

Ø f es continua en x= a
Ø g es continua en x= f (a)
Ø f o g serán continuas en x= a

Demostración
Queremos demostrar que limx->a g [f(x)] = g [f(a)], o sea, por definición de límite, queremos probar que, dado ε>0 existe δ>0 tal que para todo x perteneciente al E*a,δ g[f(x)] perteneciente al Eg[f(a)],ε.


Por hipótesis g es continua en f (a) => por definición de continuidad limx->f(a) g(x)=g[f(a)] => por definición de límite, dado ε>0 existe δ>0 tal que...

Para todo x perteneciente al E*f(a),δ g(x) pertenece al Eg[f(a)],ε (1)

Por hipótesis f es continua en a tenemos por definición de continuidad limx->a f (x) = f (a), es decir que (por definición de límite) si tomamos el número δ de (1), existe α>0 tal que...

Para todo x perteneciente al E*a,α f(x) pertenece al Ef(a),δ (2)

De (1) y (2) se deduce que: Dado ε>0 existe α>0 / para todo x perteneciente al E*a,α g[f(x)] pertenece al Eg[f(a)],ε.

Continuidad en un intervalo


Una función f definida en un intervalo, es continua en el intervalo si:

Ø f es continua para todo x tal que
Ø f es continua por la derecha en ¨a¨
Ø f es continua por la izquierda ¨b¨

Es decir, f es continua en si:

-

-

-

Ejemplo Consideremos la función f definida por . Esta función es continua en el intervalo cerrado , ya que si se tiene que:

;Además , y,

La representación gráfica de esta función es la siguiente:

También se tiene que una función definida en el intervalo , es continua en ese intervalo, si y solo si es continua en el intervalo abierto y es continua por la derecha de "a".

Similarmente, para que una función definida en el intervalo sea continua en ese intervalo, es necesario que sea continua en el intervalo abierto y a la vez que sea continua por la izquierda en "b".

Continuidad en un intervalo abierto: Una función f es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en todo número del intervalo.


Continuidad en un intervalo por la izquierda: Una función f es continua por la izquierda en el punto x = x1 si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales.

Continuidad en un intervalo por la derecha:Una función f es continua por la derecha en el punto x = x1 si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales.

Cabe destacar los conceptos básicos de:

Intervalos: son conjuntos de números reales y se representan mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados:

Clases de intervalos:

Intervalo cerrado: es aquél que incluye los extremos.

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a b

Intervalo abierto: es aquél que no incluye los extremos

ΟlllllllllllllllllllllllllllllllllΟ
a b
Intervalo semiabierto: es aquél que incluye uno de los extremos.


TEOREMAS FUNDAMENTALES SOBRE LIMITES